Một mặt đóng là một mặt compact không có biên. Ví dụ về những mặt đóng là mặt cầu, mặt xuyến và chai Klein. Ví dụ về những mặt không đóng là dĩa tròn (là mặt cầu bỏ đi một điểm), mặt trụ (là mặt cầu bỏ đi hai điểm) và dải Mobius

Định lý phân loại mặt đóng

Ví dụ về các mặt đóng định hướng được (bên trái) và các mặt có biên (bên phải). Bên trái: mặt cầu, mặt xuyến, mặt của khối lập phương (đồng phôi với mặt cầu). Bên phải: dĩa tròn, hình vuông, mặt bán cầu (hemisphere). Biên của các mặt được vẽ màu đó. Các mặt này đều đồng phôi với nhau.

Định lý phân loại mặt đóng phát biểu rằng: Mọi mặt đóng và liên thông thì đồng phôi với một phần tử trong các họ sau:

1. Mặt cầu;
2. Tổng trực tiếp của g mặt xuyến, với g ≥ 1 {\displaystyle g\geq 1} ;
3. Tổng trực tiếp của k mặt phẳng xạ ảnh, for k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} .

Các mặt thuộc hai họ đầu tiên thì định hướng được. Ta cũng có thể gộp hai họ này là một bằng cách xem mặt cầu là tổng trực tiếp của 0 mặt xuyến. Số mặt xuyến g được gọi là giống (genus) của mặt. Đặc trưng Euler của mặt cầu và mặt xuyến lần lượt là 2 và 0 và một cách tổng quát, đặc trưng Euler của tổng trực tiếp g mặt xuyến là 2 − 2g.

Các mặt thuộc họ thứ ba thì không định hướng được. Đặc trưng Euler của mặt phẳng xạ ảnh là 1, do đó, đặc trưng Euler của tổng trực tiếp k mặt phẳng xạ ảnh là 2 − k.

Từ hai điều trên, có thể thấy một mặt đóng sẽ xác định duy nhất, sai khác một đồng phôi, với 2 thông tin sau: đặc trưng Euler và việc nó có định hướng được hay không. Nói cách khác, đặc trưng Euler và tính định hướng được hoàn toàn phân loại, sai khác một đồng phôi, được các mặt đóng.

Mặt đóng gồm nhiều thành phần liên thông cũng có thể được phân loại bằng việc phân loại từng thành phần liên thông của nó. Do đó sẽ không mất tính tổng quát nếu ta giả sử mặt là liên thông.